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离散时间系统的描述
如前所述,一个离散时间系统可以用下面的框图表示:
当系统是线性时不变的,系统的输出等于系统的输入与系统的单位抽样响应的卷积和。即:
系统函数
系统函数定义为系统单位抽样响应的Z变换:
系统输入的Z变换与系统函数的乘积等于系统输出的Z变换,即:
因果性:一个线性时不变系统是因果的,则
,其系统函数的收敛域必须大于某一半径。稳定性:一个线性时不变系统是稳定的,则
绝对可和,即 ,其系统函数的收敛域包括单位圆。
如果一个线性时不变系统是因果稳定的,则其系统函数的收敛域
,也就是说收敛域大于某一半径,这个半径小于1,也意味着系统的全部极点必须在单位圆内。
系统的频率响应
系统的频率响应定义为单位抽样响应的离散时间傅里叶变换:
系统输出的频率响应等于系统输入的频率响应与系统频率响应的乘积,即:
通常系统的频率响应
其中,
复数的相位角并不是唯一的,可以在相位角上添加任何2π的整数倍而不影响复数的值。当使用反正切进行数值计算相位时,通常会得到相位的主值。我们将
任何能给出函数
其中
在很多情况下,作为
群延迟(group delay):群延迟是相位响应对频率的导数的负值。
群延迟失真(group delay distortion):群延迟失真是指群延迟随频率的变化而变化,导致不同频率的信号在系统中的传输时间不同,从而导致信号的失真。也称为时间弥散(time dispersion)。
下图表示了群延迟失真对于信号的影响,输入信号是由三个频点
线性相位:当相位响应是关于
的线性函数时,即 ,即群延迟为常数,此时的相位称为线性相位。系统具有线性相位时,它对于输入信号的影响,只是将输入信号在时域上引入了固定的时延。
在数据传输和图像传输系统中,相位失真通常对系统的影响很大,理论上最好的方式是相位响应为0,这样就没有相位上的失真,但实际系统中,如果相位为零,就意味着信号时域必须偶对称,偶对称必然造成系统是非因果的,因此是不可实现的。通常在实际系统中,我们要求系统是线性相位的,即相位响应为线性函数,也就是说群延迟为某一常数,这样就可以保证不同频率的信号具有相同的传输时间延迟,从而避免了群延迟失真。线性相位的相位失真只是让信号在时域上引入了固定的时延,在系统其他部分,可以通过引入相应的时延来补偿。
常系数的线性差分方程
对于一个常系数的线性差分方程,其形式为:
当满足初始松弛条件时,即系统的初始转态为0时,系统是因果的,此时利用Z变换,可以求解系统的输出如下:
对
其中,
极点通常与函数的分母的因子相关联,当分母为零时,就会导致函数在某些点处出现极点。例如,对于有理函数(分子和分母都是多项式的函数),分母的根(使分母等于零的点)通常对应于函数的极点。零点通常与函数的分子的因子相关联,当分子为零时,函数的值为零。对于有理函数,分子的根(使分子等于零的点)通常对应于函数的零点。
用
其幅度响应为:
其相位响应为:
线性时不变系统的特征函数
当系统的输入
我们定义系统的特征函数为
例:正弦序列
$$
由于
对于正弦序列或者复指数序列,系统不会改变其频率,只会影响其幅度值和相位值。
可逆系统
给定一个线性时不变系统,其系统函数为
对应可逆系统的系统函数
可逆系统的频率响应为:
时域上,如果系统是可逆的,则存在一个系统的单位抽样序列
一个系统是可逆的,要求该系统的所有极点和零点都在单位圆内。也就是该系统是最小相位系统。最小相位系统我们会在后面的章节中详细讨论。