模拟滤波器的设计

这一小节我们简单介绍几种模拟滤波器的设计：巴特沃斯滤波器、切比雪夫I型滤波器、切比雪夫II型滤波器、椭圆型滤波器。

巴特沃斯低通滤波器(Butterworth lowpass filter)

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：

\(\displaystyle |H_c(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)^{2N}}\)

其中，\(\Omega_c\)为通带截止频率，\(N\)为滤波器的阶次。巴特沃斯滤波器的幅度平方函数用下图表示：

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数

我们可以画出不同阶次的巴特沃斯低通滤波器的幅度响应曲线：

巴特沃斯低通滤波器的幅度函数

通带内，幅度响应是最大平坦的，对于\(N\)阶的滤波器，意味着幅度平方函数的\(2N-1\)阶导数在\(\Omega=0\)处的值为0。
幅度函数在通带和阻带都是单调递减的。
巴特沃斯滤波器是全极点滤波器。
当\(\Omega=0\)时，幅度函数的值为1。
当\(\Omega=\Omega_c\)时，幅度函数的值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。无论滤波器的阶次\(N\)为多少，曲线都要经过3dB这个点。
当\(\Omega < \Omega_c\)时，随着N的增大，通带内的幅度衰减越来越慢。当\(\Omega > \Omega_c\)时，随着N的增大，阻带内的幅度衰减越来越快。

代替\(s=j\Omega\)到幅度平方函数得到：

\(\displaystyle |H_c(s)|^2 = H_c(s)H_c^{\ast}(s) = \frac{1}{1 + \left(\frac{s}{j\Omega_c}\right)^{2N}}\)

由于模拟滤波器的单位脉冲响应是实函数，因此其系统函数\(H(s)\)是共轭对称的，即\(H_c(s)=H_c^{\ast}(-s)\)，所以：

\(\displaystyle |H_c(s)|^2=H_c(s)H_c(-s)= \frac{1}{1 + \left(\frac{s}{j\Omega_c}\right)^{2N}}\)

令\(1 + \left(\frac{s}{j\Omega_c}\right)^{2N}=0\)可以得到幅度平方函数的极点如下：

\(\displaystyle s_k = \Omega_c e^{j\frac{(2k+N+1)\pi}{2N}}, k=0,1,\cdots,2N-1\)

下面以\(N=3\)和\(N=4\)为例，画出巴特沃斯幅度平方函数的极点分布图。

为了保证所设计的系统是因果稳定的，\(H_c(s)\)的极点为幅度平方函数左半平面的极点，因而

\(\displaystyle H_c(s)=\frac{\Omega_c^N}{\prod_{k=0}^{N-1}(s-s_k)}\)

这里的分子系数\(\Omega_c^N\)是由\(H_c(s)\)的低频特性决定的（\(H_c(0)=1\)）。

在一般设计中，通常选择\(\Omega_c=1\)，这样使频率得到归一化。归一化后，巴特沃斯滤波器的极点分布、系统函数以及分母多项式的系数都有现成的表格可查。

巴特沃斯低通滤波器通带和阻带都是单调下降的，对于有些滤波器来说，给定一个波动范围，可以允许通带和阻带在这个范围内波动。这样设计出来的滤波器阶次会更低。

切比雪夫I型，通带内有波纹，阻带内是单调下降的。其幅度平方函数表示如下：

\(\displaystyle |H_c(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 +\varepsilon^2V_N^2\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)}\)

其中，\(\varepsilon<1\)表示通带波纹大小的一个参数，\(\varepsilon\)越大，波纹也越大，\(N\)为滤波器的阶数。\(V_N(x)\)为\(N\)阶切比雪夫多项式。切比雪夫I型低通滤波器的幅度响应如下：

切比雪夫II型，通带内单调下降，阻带内有波纹。其幅度平方函数如下：

\(\displaystyle |H_c(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 +[\varepsilon^2V_N^2\left(\frac{\Omega_c}{\Omega}\right)]^{-1}}\)

切比雪夫II型低通滤波器的幅度响应如下：

椭圆型滤波器是在通带和阻带都有波纹的一种滤波器。其幅度平方函数为：

\(\displaystyle |H_c(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 +\varepsilon^2U_N^2\left(\Omega\right)}\)

其中，\(\varepsilon\)表示波纹的大小，\(U_N(x)\)为\(N\)阶雅可比椭圆函数(Jacobian elliptic function)。下图为椭圆型滤波器的幅度响应：

例：用以上四种逼近函数设计一个模拟低通滤波器，通带截止频率为50Hz，阻带截止频率为80Hz，通带最小增益为\(-3dB\)，阻带最大增益为\(-60dB\)。

以下为四种逼近函数的设计结果：