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离散时间傅里叶变换的对称性

任一复数序列$x[n]$，都能表示成共轭对称序列和共轭反对称序列的和。 $\displaystyle x[n] = x_e[n] + x_o[n]$ 其中$x_e[n] = x_e^*[-n] = \frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n])$为共轭对称序列，$x_o[n] = -x_o^*[-n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n])$为共轭反对称序列。

对于实序列，$x_e[n]=x_e[-n]$，$x_o[n]=-x_o[-n]$，即$x_e[n]$为偶序列，$x_o[n]$为奇序列。

同样地，离散时间傅里叶变换$X(e^{j\omega})$可由共轭对称函数$X_e(e^{j\omega})$和共轭反对称函数$X_o(e^{j\omega})$的和组成。 $\displaystyle X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})$

其中$X_e(e^{j\omega})=X_e^*(e^{-j\omega})=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})+X^*(e^{-j\omega})]$为共轭对称函数，$X_o(e^{j\omega})=-X_o^*(e^{-j\omega})=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega})-X^*(e^{-j\omega})]$为共轭反对称函数。

如果$X(e^{j\omega})$是实函数，则$X_e(e^{j\omega})=X_e(e^{-j\omega})$是偶函数，$X_o(e^{j\omega})=-X_o(e^{-j\omega})$是奇函数。

$x[n]$为复数序列时，$X(e^{j\omega})$的对称性

$x^*[n] \rightarrow X^*(e^{-j\omega})$

证明： $$\begin{align*} X(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}\\ X^*(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[n]e^{j\omega n}\\ X^*(e^{-j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[n]e^{-j\omega n} \end{align*}$$

$x^*[-n] \rightarrow X^*(e^{j\omega})$

证明： $\displaystyle X^*(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[-n]e^{-j\omega(-n)}$

$\textit{Re}\{x[n]\} \rightarrow X_e(e^{j\omega})$

证明： $\displaystyle \textit{Re}\{x[n]\} = \frac{1}{2}(x[n]+x^*[n])$ 进行傅里叶变换后得到： $\displaystyle \frac{1}{2}(X(e^{j\omega})+X^*(e^{-j\omega})) = X_e(e^{j\omega})$

$j\textit{Im}\{x[n]\} \rightarrow X_o(e^{j\omega})$

证明： $\displaystyle j\textit{Im}\{x[n]\} = \frac{1}{2}(x[n]-x^*[n])$ 进行傅里叶变换后得到： $\displaystyle \frac{1}{2}(X(e^{j\omega})-X^*(e^{-j\omega})) = X_o(e^{j\omega})$

$x_e[n] \rightarrow X_R(e^{j\omega})=\textit{Re}\{X(e^{j\omega}\}$

证明： $\displaystyle x_e[n] = \frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n])$

进行傅里叶变换后得到： $\displaystyle \frac{1}{2}(X(e^{j\omega})+X^*(e^{j\omega})) = X_R(e^{j\omega})$

$x_o[n] \rightarrow jX_I(e^{j\omega})=j\textit{Im}\{X(e^{j\omega}\}$

证明： $\displaystyle x_o[n] = \frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n])$

进行傅里叶变换后得到：

$\displaystyle \frac{1}{2}(X(e^{j\omega})-X^*(e^{j\omega})) = jX_I(e^{j\omega})$

$x[n]$为实序列时，$X(e^{j\omega})$的对称性

对于任一实序列，其傅里叶变换$X(e^{j\omega})$是共轭对称的，即$X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$。

证明： $\displaystyle X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$

$\displaystyle X^*(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[n]e^{j\omega n}$

$\displaystyle X^*(e^{-j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$

对于实序列，其傅里叶变换$X(e^{j\omega})$的实部是偶函数，虚部是奇函数。

证明： $\displaystyle X(e^{j\omega}) = X_R(e^{j\omega}) + jX_I(e^{j\omega})$

$\displaystyle X^*(e^{-j\omega}) = X_R(e^{-j\omega}) - jX_I(e^{-j\omega})$

因此： $\displaystyle X_R(e^{j\omega}) = X_R(e^{-j\omega})$

$\displaystyle X_I(e^{j\omega}) = -X_I(e^{-j\omega})$

对于实序列，其幅度响应$|X(e^{j\omega})|$是偶函数，相位响应$\angle X(e^{j\omega})$是奇函数，即$|X(e^{j\omega})|=|X(e^{-j\omega})|$，$\angle X(e^{j\omega})=-\angle X(e^{-j\omega})$。

证明：

$\displaystyle |X(e^{j\omega})| = \sqrt{X_R^2(e^{j\omega})+X_I^2(e^{j\omega})}$

$\displaystyle |X(e^{-j\omega})| = \sqrt{X_R^2(e^{-j\omega})+X_I^2(e^{-j\omega})}$

因此： $\displaystyle |X(e^{j\omega})| = |X(e^{-j\omega})|$

$\displaystyle \angle X(e^{j\omega}) = \arctan\frac{X_I(e^{j\omega})}{X_R(e^{j\omega})}$

$\displaystyle \angle X(e^{-j\omega}) = \arctan\frac{X_I(e^{-j\omega})}{X_R(e^{-j\omega})}$

因此： $\displaystyle \angle X(e^{j\omega}) = -\angle X(e^{-j\omega})$

任一偶对称的实序列，其傅里叶变换只有实部，虚部为零。
任一奇对称的实序列，其傅里叶变换只有虚部，实部为零。

离散时间傅里叶变换的对称性

\(x[n]\)为复数序列时，\(X(e^{j\omega})\)的对称性

\(x[n]\)为实序列时，\(X(e^{j\omega})\)的对称性