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离散时间系统
离散时间系统的定义
离散时间系统在数学上被定义为将输入序列\(x[n]\)映射为输出序列\(y[n]\)的变换或运算。我们用下式来表示：
\(\displaystyle y[n]=T\{x[n]\}\)
也可以用下面的框图来表示：
离散时间系统的性质
线性系统
系统是线性的，必须满足下面两个等式：
\(\displaystyle T\{x_1[n]+x_2[n]\}=T\{x_1[n]\}+T\{x_2[n]\}=y_1[n]+y_2[n]\)
\(\displaystyle T\{ax[n]\}=aT\{x[n]\}=ay[n]\)
其中，\(a\)是一个常数。第一个等式称为加法性，第二个等式称为齐次性。这两个属性共同构成了叠加原理，表述为：
\(\displaystyle T\{ax_1[n]+bx_2[n]\}=aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}=ay_1[n]+by_2[n]\)
上面的表达式可以总结为：如果先运算再变换等于先变换再运算，那么系统就是线性的。
例：\(\displaystyle y[n]=3x[n]+2\)是不是线性系统？
解：先运算再变换：\(\displaystyle T\{ax_1[n]+bx_2[n]\}=3ax_1[n]+3bx_2[n]+2\)
先变换再运算：\(\displaystyle aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}=3ax_1[n]+2a+3bx_2[n]+2b\)
很显然，上面两个表达式是不相等的，所以\(\displaystyle y[n]=3x[n]+2\)不是线性系统。
例：\(y[n]=3x[n]+2\)是不是线性系统？
解：先运算再变换：\(T\{ax_1[n]+bx_2[n]\}=3ay_1[n]+3by_2[n]+2\)
先变换再运算：\(aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}=3ay_1[n]+2a+3by_2[n]+2b\)
很显然，上面两个表达式是不相等的，所以\(y[n]=3x[n]+2\)不是线性系统。
时不变系统（移不变系统）
时不变系统指的是输入序列的时间平移或延迟会导致相应的输出序列发生相应的平移或延迟，我们可以用下面式子表示：
\(\displaystyle T\{x[n-n_0]\}=y[n-n_0]\)
其中，\(n_0\)是一个常数。这个性质也称为移不变性。
线性时不变系统的特征
单位抽样响应\(h[n]\)的定义：当输入序列\(x[n]=\delta[n]\)时，输出序列\(y[n]=h[n]\)，则\(h[n]\)称为系统的单位抽样响应。
\(\displaystyle h[n]=T\{\delta[n]\}\)
当系统是线性时不变系统时，系统的输出序列\(y[n]\)可以用下面的式子表示： \(\displaystyle y[n]= x[n] * h[n]\) 也就是说系统的输出等于系统的输入和单位抽样响应的卷积和。
证明：
卷积和在系统中运算具有如下的性质：
卷积和的操作满足交换律，即\(x[n]*h[n] = h[n]*x[n]\)
卷积和的操作满足结合律，即\(x[n]*h_1[n]*h_2[n] = x[n]*(h_1[n]*h_2[n])\)
卷积和的操作满足分配率，即\(x[n]*(h_1[n]+h_2[n]) = x[n]*h_1[n]+x[n]*h_2[n]\)
因果系统
系统当前时刻的输出只取决于系统当前时刻及之前时刻的输入，而不依赖于之后时刻的输入，则系统是因果的。我们可以用下面的式子来表示：
\(\displaystyle y[n]=T\{x[n]\}=T\{x[n],x[n-1],x[n-2],\cdots\}\)
在以时间为变量的系统中，因果性是一个非常重要的性质，因果性意味着可实现，非因果意味着不可实现。
当系统是线性时不变系统时，因果性的条件如下：
\(\displaystyle h[n]=0,n<0\)
证明：略
因果信号：\(\displaystyle x[n]=0,n<0\)；反因果信号：\(\displaystyle x[n]=0,n\geq0\)
稳定系统
当系统的输入是有界的，若系统的输出也是有界的，则系统是稳定的。我们可以用下面的式子来表示：
\(\displaystyle |x[n]|<\infty\Rightarrow|y[n]|<\infty\)
当系统是线性时不变系统时，系统稳定性的条件如下：
\(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty\)
也就是说系统的单位抽样响应绝对可和。
证明：略
思考题
判断下列系统是否是线性系统？是否是时不变系统？
a. \(\displaystyle y[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]\)
b. \(\displaystyle y[n]=[x[n]]^2\)
c. \(\displaystyle y[n]=x[n]\sin(\frac{2\pi}{9}n+\frac{\pi}{7})\)
以下序列是系统的单位抽样响应\(h[n]\)，判断系统是否是因果的？是否是稳定的？
a. \(\displaystyle h[n]=\frac{1}{n^2}u[n]\)
b. \(\displaystyle h[n]=\frac{1}{n!}u[n]\)
c. \(\displaystyle h[n]=3^nu[-n-1]\)
d. \(\displaystyle h[n]=0.3^nu[n]\)