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DFT变换应用之一（频谱分析）
DFT变换最重要的一个应用是做信号的频谱分析，这一小节以正弦信号做频谱分析为例，说明DFT变换在频谱分析中的应用。实际中很多信号都可以由很多正弦信号所组成，所以正弦信号是非常有代表性的一种信号。
我们重点分析了加窗截断对频谱分析的影响，以及频率分辨力的概念。
给定一个余弦信号\(x(t) = cos(2\pi*100 t)\)，我们利用DFT变换对其进行频谱分析。该信号时域和频域图如下：
首先进行时域的抽样，抽样必须满足抽样定理，即抽样频率\(f_s\)必须大于信号的最高频率\(f_1\)的两倍，即\(f_s > 2f_1\)，这里我们取\(f_s = 1000Hz\)为信号最高频率的10倍，时域的抽样示意图如下：
为了说明DFT变换用于谱分析会遇到的一些问题，我们截取了非常短的信号长度即0.02秒，这样信号的抽样点数为\(N=20\)。信号在时域的直接截断，相当于信号在时域乘上了一个矩形窗函数。我们先来回顾一下矩形窗函数的时域和频域图：
信号加矩形窗后的时域图如下：
两个信号在时域上相乘，在频域上为两个信号的卷积，因此信号在频域上会加宽，产生拖尾，造成对临近频率的干扰（这种现象叫频谱泄漏。时域直接截断后，信号频域如下图所示：
如果截断的信号长度刚好是信号周期的整数倍，那么频域上那些离散的频率点\(k f_s/N, \quad k=0, \ldots, N-1\)，除了在信号频率\(\pm f_1\)处有幅度为\(1/2\)的峰值，其他频率点的幅度都为0，这样看上去就不存在频率泄露。
但是在实际应用中，由于进入系统的信号可能由多个周期信号组成，我们很难知道信号的周期，因此很难保证截断的信号长度刚好是信号周期的整数倍，频谱泄漏是不可避免的。假定我们截断的信号长度为\(N=26\)，此时截取的长度不再是周期信号的整数倍，信号频域如下图所示：
从图中可以看出离散频率点为\(\frac{f_s}{26}k\)，此时信号存在严重的频谱泄漏，要减少频谱泄漏，可以采取以下两种方式：
加旁瓣衰减更快的窗函数；
增加信号截断的长度，即增加采样点的个数。
以下我们列出了三种窗函数的时域和频域图：
为了改善频谱泄漏，我们用衰减更快的hann窗对信号进行截断，截断后的信号频域图如下：
从图中可以看到频谱泄漏有所减少，但是信号的主瓣宽度增加了，我们可以通过增加信号的长度来减少主瓣宽度。下面我们将信号的长度增加到\(N=64\)，此时信号的频域如下图所示：
可以看到信号的主瓣宽度减小了，频率分辨力会得到提高。频率分辨力定义为分辨两个信号频率的能力。一个简单的例子说明，如果两个信号的频率相差很小，那么在频域上就很难分辨这两个信号，因为它们的频谱会重叠在一起，如果两个信号的频率相差很大，那么在频域上就很容易分辨这两个信号，因为它们的频谱不会重叠在一起。频率分辨力的定义为两个信号频率之差的最小值，即\(\Delta f_{min}\)，频率分辨力越大，说明信号频率之间的分辨能力越强。频率分辨力的计算公式为：
其中\(T_M\)为信号的实际长度（补零不算），也就是说频率分辨力只跟信号的实际长度有关。\(T_M = N/F_s\)，\(N\)为信号的时域采样点数，\(f_s\)为信号的采样频率。因此信号的频率分辨力也可以定义为：
\(\Delta f_{min}\)越小，信号的频率分辨力越大，说明信号的频谱分辨率越高，可以分辨的频率越多。
例：给定一个正弦信号：\(x(t) = cos(2\pi*100 t) + 0.5cos(2\pi *120t)\)，在时域上截取多少长度可以在频域将这两个信号分辨出来？
当时域上截取的信号足够长时，该信号的频域如下图：
如果按照之前的0.02s的截取长度，那么信号的频率分辨力为：
因此是无法分辨100Hz和120Hz这两个信号，我们可以从下面的频域图中看到，这两个信号的频谱重叠在一起了。
因此如果要分辨这两个信号，我们需要增加信号的截取长度，至少要0.05秒以上才可以分辨这两个信号。
人为地增加频率的抽样点数，是不会增加频率分辨力的。增加频率的抽样点数一方面为了做FFT计算时凑成2的整数倍，另一方面可以让频域图更加平滑，看到更多的离散的频率点的值。